牛莱公式/格林公式/高斯公式/斯托克斯公式的本质，其实就是把对“区域”的积分转化为对“边界”的积分。而这个本质的基础在于，对于二线二面来说，被积函数是拥有方向的，所以在对它们的积分“区域”积分时，被积函数其实会在被积“区域”内部的无数个“小区域”边界上相互抵消，最终只剩下被积区域的边界，表现形式即为上述四个公式。(明年再写证明🕊)

“先一后二”本质是，把 x,y 当常数，对 z 积分，此时得出的结果是垂直于 xoy 平面且随 xy 变化而变化的线质量积分值，故“先一”得到的积分值是一个关于 xy 的函数（而普通一重定积分得出的是具体值）。另外从这点可以很容易理解，计算“先一”时上下限必然是关于 x,y 的变量并且是通过把积分区域方程的 z 用 xy 表示来得出的，这里可以参考前文所述来理解上下限的含义，不再赘述。之后再“对二积分”，但此时的被积函数从几何意义的角度看已经变了，它的实质从表示一个空间区域内每一点的密度值，变成了表示线质量在该空间区域投影在 xoy 平面上的投影区域内每一点的值，故可以看出，“后二”时积分区域一定是三重积分的积分区域在 xoy 平面上的投影区域，之后就是二重积分的工作了，且“先二后一”的理解完全同理，可以自行思考。同样，可以用以上思路去理解二重积分化为累次积分过程的实质，以及为何二重积分时 X 型区域只能先 x 后 y 而 Y 型区域只能先 y 后 x，懒得写了哈哈哈。

贝叶斯定理的本质是根据新事件（即新证据）对原事件概率（即先验概率）进行更新：
$$\begin{aligned} P(原|新)&= \dfrac{P(原\cap新)}{P(新)} \\ &= \dfrac{P(原)P(新|原)}{P(原)P(新|原)+P(\neg原)P(新|\neg原)} \end{aligned}$$为了进一步说明公式的本质，假设总样本空间为 $\Omega$，则贝叶斯公式的作用就是在新事件限定后的样本空间 $\Omega_{small}$ 里重新计算原事件概率，即 $P(原|新)$。而需要重新计算的原因在于新事件限定后，$原事件$ 符合新事件的程度和 $¬原事件$ 符合新事件的程度是不一样的，即在限定后的样本空间 $\Omega_{small}$ 中符合新事件的样本空间比例 $原_{small}:¬原_{small}$ 不等于限定前的 $原:¬原$，故而导致了新事件对原事件概率的更新，而计算更新后的概率公式即为贝叶斯公式，用白话文翻译一下即为下式：$$\begin{aligned} P(原|新) &= \dfrac{原_{small}}{\Omega_{small}} \\ \\ &=\dfrac{在原中，新的概率}{在原中，新的概率 + 在¬原中，新的概率} \end{aligned}$$要想深入理解贝叶斯公式的精髓，一定要理解新事件的作用其实是用于更新原概率的“证据”，如果仍觉得难以理解，找个练习题用画图的方法感受一下就行。

题外话，根据上面的描述，有人可能发现贝叶斯公式的右边也可以写成下面这样：$$P(原|新)=\dfrac{P(新)P(原|新)}{P(新)P(原|新)+P(新)P(\neg原|新)}$$白话文即：$$\dfrac{在新中，原的概率}{在新中，原的概率 + 在新中，¬原的概率}$$但这样写虽然等式成立，可这个式子，呃，好像一点意义都没有……而贝叶斯公式里写成类似“$P(原)P(新|原)$”这种表述的意义则在于，在需要使用贝叶斯的场景下，这种表述的概率根据已知内容往往是易于计算的，其中“$P(新|原)$”在在贝叶斯定理里有一个单独的名字： “似然”。

再次题外话，P（AB）和 P（A|B）描述的其实都是 A 和 B 的交集 C，只不过 P（AB）是从全集的角度出发描述 C，而 P（A|B）则是从子集 B 出发描述交集 C，也就是说，设全集为 Ω，则P（AB）= P（C|Ω），P（A|B）= P（C|B）。从这个角度理解，条件概率的公式 P（A|B）= P（AB）/P（B）就很容易理解了，其中的P（B）起的即是限制作用。另外，其实可以用条件概率的公式推出贝叶斯公式，不再赘述。